UNIDAD IV: PRUEBA HIPÓTESIS

 

UNIDAD IV: PRUEBA HIPÓTESIS

 

UNIDAD IV: PRUEBA HIPOTESIS

INTRODUCCION

• Como hemos visto en anteriores ejercicios han mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis.

Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones.



• La hipótesis nula, representada por Ho, es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la “creencia a priori”).

• La hipótesis alternativa, representada por H1, es la afirmación contradictoria a Ho, y ésta es la hipótesis del investigador.
• La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son rechazar Ho o no rechazar Ho.

El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera. También es conocido como a ó nivel de significancia.

El error tipo II ó error b se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa

4.3 Prueba de hipótesis para una media con varianza conocida y desconocida

 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el

año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.= 5% Solución:

2. Datos:

m=70 años

s = 8.9 años x = 71.8 años n = 100

a = 0.05

3. Ensayo de hipótesis

Ho; m = 70 años.

rechazo

H1; m > 70 años. aceptar

3. Ensayo de hipótesis

Ho; m = 70 años.
H1; m > 70 años.

4. Regla de decisión:

A) Si zR£ 1.645 no se rechaza Ho.

B) Si zR> 1.645 se rechaza Ho y acepto H1. 

5. Cálculos:

Z=71.8-70/8.9*RAIZ DE 100

6. Justificación y decisión.

Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04.

3. Ensayo de hipótesis Ho; m = 800 horas Hipótesis nula

H1; m ¹ 800 horas Hipótesis alternativa



2. Datos:

m=800 horas

           s = 40 horas

x = 788 horas n = 30 

a = 0.04

3. Ensayo de hipótesis Ho; m = 800 horas Hipótesis nula

H1; m ¹ 800 horas Hipótesis alternativa

3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en promedio

5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que

m = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, m < 5.5 onzas en el nivel de significancia de 0.05.

Solución: Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar desconocida

2. Datos:

m= 5.5 onzas

s= 0.24 onzas x = 5.23 onzas n = 64

a = 0.05

3. Ensayo de hipótesis Ho; m = 5.5 onzas

H1; m < 5.5 onzas

4. Regla de decisión:

A)Si ZR ³ -1.645 No se rechaza Ho

b) Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho

Z=5.23-5.5/0.5*RAIZ DE 64

6. Justificación y decisión:

Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de

5.5 onzas.

4.4 Prueba de hipótesis para una proporción y diferencia de proporciones.

1.-Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond.

¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10.

Datos:

P= 70% = 0.70

p = 8/15 = 0.5333

=53%

n = 15

a = 0.10

Ensayo de hipótesis

 Ho; P = 0.70 nula

H1; P ¹ 0.70 alternativa

Regla de Decisión:
A) Si –1.645£ ZR (-1.41)£ 1.645 No se rechaza Ho

B) Si ZR < -1.645 ó si ZR > 1.645 Se rechaza Ho

 Z=.533-0-70/RAIZ(.70)(.30)

z=-1.41

Justificación y decisión:

Como –1.645£ -1.41£ 1.645 No se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta.

2.- Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando a = 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso?

2. Datos:

P= 0.05
p = 4/200 = .02

n = 200
a = 0.05

3. Ensayo de hipótesis

 Ho; P = 0.05

H1; P < 0.05

4. Regla de decisión:

a) Si ZR ³ -1.645 No se rechaza Ho

b) Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho

  

Z=(.02-.05)/ RAIZ(.05)(.95)/200

Z=-1.946

6. Justificación y decisión:

Puesto que –1.946<-1.645, se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la fracción de artículos defectuosos es menor que 0.05.

3. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar Ho: P=0.05 contra H1: P¹ 0.05. Utilice un valor de P para su conclusión.



1. Ensayo de hipótesis

Ho; P = 0.05 =5%

H1; P ¹ 0.05 <>5%



Regla de decisión

a) Si z<= 0.596 se acepta Ho (nula)

b) Si z>= 0.596 Se rechaza Ho

Z= 0.043-.05/RAIZ(.05)(.95)/300

Z=-.53



3. Decisión:Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que la fracción defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechaza Ho.