3.7 Intervalo de confianza para una varianza.

TEMA: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDO.

𝑷=(𝒏−𝟏)𝑺𝟐𝑿𝟐Τ 𝜶𝟐≤𝝈𝟐≤(𝒏−𝟏)𝑺𝟐𝑿𝟐Τ 𝟏−𝜶𝟐=𝟏−𝜶

Datos:

n= Tamaño de la muestra

S = Desviación estándar de la muestra.

X2 Τ 𝜶𝟐= Error máximo esperado 2, Se busca en la tabla con (n 1)

X2 1 Τ 𝜶𝟐= Error máximo esperado /2, Se busca en la tabla con (n 1)

1) Se sabe por experiencia que el tiempo que tarda el servicio de caja de una empresa prestadora del servicio de agua de una región para atender a los clientes que llegan a efectuar el pago mensual del servicio se distribuye normalmente Se pide estimar el intervalo de confianza para la desviación estándar poblacional del tiempo requerido para atender los pagos que efectúan los clientes, con un nivel de confianza del 95 si para el efecto se tomó una muestra aleatoria de 25 clientes que arrojó una desviación estándar de 1 8 minutos.

𝑷=(𝟐𝟓−𝟏)∗𝟏.𝟖𝟐39.3641≤𝝈𝟐≤𝟐𝟓−𝟏∗𝟏.𝟖𝟐12.4011=𝟏−𝜶

P= (1.975minutos≤𝝈𝟐≤𝟔.𝟐𝟕𝟎𝟒𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔)

Datos:

n=25 clientes (Tamaño de la muestra)

S=1.8 minutos ( Desviación estándar de la muestra

X2 Τ 𝜶𝟐=0.05/2 = 0.025, 25 1=24 (.025,

Error máximo esperado /2, Se busca en la tabla con (n 1)

X2 1 Τ 𝜶𝟐= (1 0.025) = 0.975 , 25 1=24 

2 ) A un grupo de individuos se les sometió a una dieta especial y al final se les midió el nivel de colesterol en el plasma los resultados son S= .3919 mmol/ litro, n=12 personas, Suponiendo que la población de colesterol tiene una distribución normal, construye un IC del 95% para desviación estándar poblacional de colesterol.

𝑷=𝟏𝟐−𝟏∗.𝟑𝟗𝟏𝟗𝟐𝟐𝟏.𝟗𝟐𝟎𝟎≤𝝈𝟐≤𝟏𝟐−𝟏∗.𝟑𝟗𝟏𝟗𝟐𝟑.𝟖𝟏𝟓𝟕=𝟏−𝜶

P = (0.0770mmol/litro≤𝝈𝟐≤𝟎.4428mmol/litro)

Datos:

n=12 personas

S =.3919

X2 Τ 𝜶𝟐= 0.05 / 2 = 0.025 n= 12 1 =11 0.025 ,11) = 21.9200

X2 1 Τ 𝜶𝟐= 1 ––( 0.05 /2) = 1 0.025 = 0. 975 (0.975 , 11) =

3 ) La varianza de la resistencia a la rotura de 30 cables probados fue de 32,000 lbs2. Halle un intervalo de confianza del 90%, para la varianza de la resistencia de todos los cables de ésta marca.

𝑷=𝟑𝟎−𝟏𝟏𝟕𝟖.𝟖𝟖42.5569≤𝝈𝟐≤𝟑𝟎−𝟏𝟏𝟕𝟖.𝟖𝟖17.7084=𝟏−𝜶

𝒑=𝟎.𝟎𝟏𝟐≤𝝈𝟐≤𝟐𝟗𝟐.𝟗𝟒𝟏𝟐𝑳𝑩𝑺

Datos:

n=30

S2= 32,000 lbs 2 S= 178.88

X2 Τ 𝜶𝟐= 10%10%/2 , (0.05 ) (0.05, 29) = 42.5569

X2 1 Τ 𝜶𝟐= 1 0.05 ) = 0.95 , ( 0.95, 29) = 17.7084

4 ) Calcule el intervalo de confianza para la varianza sobre las ventas de 15 vendedores al 90% con los siguientes datos varianza= 2.143 miles de pesos.

Datos:

n=15

S = Desviación estándar de la muestra. S2= 2.143

X2 Τ 𝜶𝟐= .10 /2 , = 0.05 ( 0.05 , 14 )= 23.6848

X2 1 Τ 𝜶𝟐= 1 0.05 ) = 0.95, (0.95, 14 ) = 6.5706

𝑷=((𝟏𝟓−𝟏)*2.143² / 23.6848 ≤ 𝝈² ≤ (𝟏𝟓−𝟏)*2.143²  / 6.5706)=𝟏−𝜶

P=(1.226 ≤ 𝝈² ≤4.566)

5) El tiempo que transcurre para los obreros de una gran compañía entre el momento del ingreso a la planta y el momento en que están listos para recibir las orientaciones de su jefe inmediato, se distribuye normalmente Una muestra de 20 obreros arroja una desviación estándar de 3 5 minutos Se pide calcular el intervalo de confianza del 99 para la desviación estándar del tiempo transcurrido para todos los obreros de la compañía.

Datos:

n=20

S = 3.5 min

X2 Τ 𝜶𝟐= (.01/2)= 0.002, 20-1= 19(.000,19)=38.5821

X2 1 Τ 𝜶𝟐= (1-(.01/2)=(1-.005)=(995,19)=6.8439

𝑷=((20−𝟏)*3.5² / 38.5821 ≤ 𝝈² ≤ (20−𝟏)*3.5² / 6.8439)=𝟏−𝜶

P=(6.0325 ≤ 𝝈² ≤ 34.0083)

6 ) Las pruebas efectuadas a una muestra aleatoria de 40 motores mostraron que tenían una desviación estándar de la eficiencia térmica del 1.6%. Calcule el intervalo de confianza para grandes muestras del 95% para la desviación estándar.

Datos:

n=40 mots

S = 1.6%

X2 Τ 𝜶𝟐= 0.05/2=0.025

n=40-1=39 (0.025,39)=44.5398

X2 1 Τ 𝜶𝟐= (1-(0.05/2)=1-0.025=0.975(.975,39)=23.6543

𝑷=((40−𝟏)*1.6² / 44.53981 ≤ 𝝈² ≤ (40−𝟏)*1.6² / 23.65.43)=𝟏−𝜶

P=(2.2415 ≤ 𝝈² ≤ 4.2207)

7) Una muestra aleatoria de 8 pedidos que le hacen a una compañía, nos muestra que los mismos demoraron en ser atendidos con una desviación estándar de 1.75 días. Construir el intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del tiempo que tarda la compañía en atender la orden.

Datos:

n=8 pecl

S = 1.75 dlco

X2 Τ 𝜶𝟐= .01/2=.005 (.005, 7)=20.2777

X2 1 Τ 𝜶𝟐= (1-(.01/2)=1-.005=(.995,7)=.9893