2.4 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN. / 2.5 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS Y DE DIFERENCIA DE PROPORCIONES.

2.4 Distribución muestral de la proporción.

2.5 Distribución muestral de la diferencia de medias y de diferencia de proporciones.

Cuando se requiere investigar la proporción de algún atributo en una muestra (variables cualitativas), la distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a dichas situaciones.

1.Se ha demostrado por reclamos que se han hecho, que el Población= 20 de las

entregas llegan averiadas al utilizar una compañía intermunicipal de transporte ¿Cual es la

probabilidad de que al enviar n= 100 encargos, la proporción de averiadas sea menor que el

p= 25?

DATOS

p=0.25

P=0.20

q=(1-P)=(1-0.20)=0.80

n=100

Z=(0.25-0.20)/√(0.20*0.80/100)= 5/4= 1.25

=1.25 = 0.89435

=0.89435 * 100%= 89.43%

2. En una gran compañía, el P= 18 de los trabajadores están de acuerdo con

un proyecto de ley que modifica el código laboral Mexicano La gerencia de la

compañía desea conocer la probabilidad de que en una muestra aleatoria de

n= 120 trabajadores, el p= 30 o más estén de acuerdo con dicho proyecto

DATOS

p=0.30

P=0.18

q=(1-P)=(1-0.18)=0.82

n=120

Z=(0.30-0.18)/√(0.18*0.82/120)=3.42159=0.99968

=0.99968-1=0.00032

=0.00032 * 100%= 0.032%

3. Por experiencia se sabe que el P= 68 de los clientes de un supermercado,

utilizan vales de consumo Si se toma aleatoriamente una muestra de n= 500

clientes, ¿cual es la probabilidad de que menos del p= 65 utilicen dichos

vales?

DATOS

p=0.65

P=0.68

q=(1-P)=(1-0.68)=0.32

n=500

Z=(0.65-0.68)/√(0.68*0.32/500)= 1.438

=1.438 = 0.07636

= 0.07636* 100%= 7.63%

4. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios

pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3 de los

usuarios tienen tal reacción Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar

estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la

muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4?

 DATOS

p=0.04

P=0.03

q=(1-P)=(1-0.03)=0.97

n=150

Z=(0.04-0.03)/√(0.03*0.97/150)= 0.71795

=0.71795= 0.76115

=1-0.76115=0.23885

0.23885 * 100%= 23.88%

5. Por experiencia se sabe que el 78 de los estudiantes de la UMB, utilizan su

celular para buscar información Si se toma aleatoriamente una muestra de 480

alumnos, ¿cual es la probabilidad de que menos del 70 utilicen dichos vales?

 DATOS

p=0.70

P=0.78

q=(1-P)=(1-0.78)=0.22

n=480

Z=(0.70-0.78)/√(0.70*0.22/480)= 4.4663

=0.71795= 0.76115

0.00000* 100%= 0%

2.5 Distribución muestral de la diferencia de medias y de diferencia de proporciones.

1. Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte

difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para

personas culpables de asesinato Se cree que el 12 de los hombres

adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10 de las

mujeres adultas lo están Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100

hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de

muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor

sea al menos 3 mayor que el de las mujeres.

Datos:

P1 = 0.12 hombres

P2 = 0.10 mujeres

n1 = 100 hombre

n2 = 100 mujeres

p= (0.03H-(.5/100) =0.025

p(pH-pM >= 0.03) = 45.62%

Z=(0.0025)-(0.12-0.10)/√(0.12*0.88)/100- (0.10*0.90)/100= 0.113

Z=0.113=0.54380

=1-0.54380=0.4562= 45.62%

2. Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron

despedidos entre 2009 y 2014 encontró que 20 habían estado sin trabajo durante

por lo menos dos años Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra

aleatoria de 320 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 2009 y

2014 ¿Cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin

empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la

encuesta de Boston College en 5 o más?

Z=(0.0484)-(320-320)/√(0.20*0.80)/320- (0.20*0.80)/320= 1.5306

Z=1.5306=0.9369

=1-0.9369=0.06301= 6.30%

3. Dos máquinas A y B, producen un mismo artículo La máquina A produce como término medio

una proporción de 14 de artículos defectuosos, mientras que la máquina B, produce en

término medio una proporción de 20 de artículos defectuosos Si se obtiene una muestra

aleatoria de 200 unidades del artículo que provengan de la máquina A y una muestra aleatoria

de 100 unidades provenientes de la máquina B, calcular la probabilidad de que B tenga una proporción de defectuosos 8 o más que A.

Datos:

P1 =14%

P2 =20%

n1 = 200

n2 = 100

p1 = 0.08-(.5/100)

Z=(0.08-(0.5-/100))-(014-0.20)/√(0.14*0.86)/200- (0.20*0.80)/100= 2.877

Z=2.877=0.99775

=1-0.997750=0.00225=0.225%

2.4 Distribución muestral de la proporción.

1. Una fábrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un 3 de pasteles

defectuosos Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica Calcula la

probabilidad de que encuentre más del 5 de pasteles defectuosos

Z=(0.05-0.03)/√(0.03*0.97)/500= 2.621612525

Z=2.621612525=0.99560

=1-0.99560=0.0044* 100= 44%

2. Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para

fijar la contienda establecida con los electores Ella percibe con respecto a este

punto que si tiene el 45 de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia

de campaña Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra

aleatoria simple de 1600 electores registrados ¿Cuál es la probabilidad de que la

muestra pueda producir una proporción de 45 más dado que la verdadera

proporción es del 40

Z=(0.40-0.45)/√(0.45*0.55)/1600= -4.020151261

Z=-4.020151261=0.00003

=1-0.00003=0.99997* 100= 99.99%

3. En una gran compañía, el 28 de los trabajadores están de acuerdo con un proyecto de

ley que modifica el código de seguridad e higiene Mexicano La gerencia de la compañía

desea conocer la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 220 trabajadores, el

35 o más estén de acuerdo con dicho proyecto de ley

Z=(0.35-0.28)/√(0.28*0.72)/220= 2.312406154

Z= 2.312406154=0.98956

=1-0.98956=0.01044* 100= 1.04%

4. Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos

fabricadas por una firma es de 4 y encuentre la probabilidad de que una

muestra aleatoria de tamaño 60 tenga

a)Menos

del 3 de los componentes defectuosos

b)Más

del 1 pero menos del 5 de partes defectuosas

Z=(0.03-0.04)/√(0.04*0.96)/60=0.04743

Z=0.04743 = 0.51595

=0.51595* 100= 51.59%

Z=(0.05-0.04)/√(0.05*0.96)/60=0.3535533906

Z= 0.3535533906 = 0.35.35

=0.636883* 100= 63.68%

5. Se ha determinado que 85 1 de los estudiantes de una universidad fuman

cigarros Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes Calcular la

probabilidad de que no más de 80 de alumnos de la muestra fume

La

media o valor esperado de la proporción es de P= 851

Z=(0.80-0.851)/√(0.851*0.149)/200= -1985761507

=0.02385* 100= 2.38%

6. Suponer que la gente que solicite ingresar a una compañía, 40 pueden

aprobar una examen de matemáticas para obtener el trabajo Si se tomara una

muestra de 20 solicitantes ¿Cuál sería la probabilidad de que 50 o más de ellos

aprobaran?

Z=(0.05-0.04)/√(0.05*0.96)/60=0.3535533906

Z= 0.3535533906 = 0.35.35

=0.636883* 100= 63.68%

2.5 Distribución muestral de la diferencia de medias y de diferencia de proporciones. 

1)Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son

defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son

defectuosos se toman muestras de 120 objetos de cada máquina

•

a) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de

la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0 10

Datos para inciso A

P1 = 3/6=0.5

P2 = 2/5=0.4

n1 = 120 objetos

n2 = 120 objetos

p1 =0.10 -(.5/120)= 0.0958

Z=(0.0958)-(0.5-0.4)/√(0.5*0.5)/120+(0.4*0.6)/120= -0.0657267069

Z= 0.52392 = 1-0.52392 = 0.47608

=0.47608* 100= 47.60%

b) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de

la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0 15

Datos para inciso B

P1 = 3/6=0.5

P2 = 2/5=0.4

n1 = 120 objetos

n2 = 120 objetos

p1 =0.15 -(.5/120)= 0.1458

Z=(0.1458)-(0.5-0.4)/√(0.5*0.5)/120+(0.4*0.6)/120= 0.7167340895

Z= 0.76115= 1-0.76115 = 0.23885

=0.23885* 100= 23.88%