3.5 Intervalo de confianza para una proporción y diferencia de proporciones
3.6 Intervalo de confianza para diferencias de medias con varianza conocida y desconocida
Deseamos estimar la proporción con la que se da una característica en una determinada población , esta característica es dicotómica por lo que o bien se posee o bien no . El intervalo se plantea , como todos con un nivel de confianza 1-a prefijado. Realizando , claro está, un muestreo de tamaño n , que en principio consideramos aleatorio simple.
n = MUESTRA
p = PROPORCCIÓN (p/n)
Z = Nivel de Confianza.
q=(1-p) Error máximo esperado.
𝑷=𝒑±𝒁√𝒑∗𝒒/𝒏
1. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas Encuentre un intervalo de confianza de 90 para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
15/500=0.03
p ) (1 -.03)=.97
𝑷=.𝟎𝟑±𝟏.𝟔𝟒𝟓∗√.𝟎𝟑∗.𝟗𝟕/𝟓𝟎𝟎
𝑷=.𝟎𝟑±𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟓𝟒
𝑷=(𝟎.𝟎𝟒𝟐𝟓𝟒,𝟎.𝟎𝟏𝟕𝟒𝟓)
𝑷=𝟏.𝟕𝟒%,𝟒.𝟐𝟓𝟒%,
2. En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación e tal que se pueda tener un 95 de confianza en que P dista menos de p.
𝑷=.𝟎𝟓±𝟏.𝟗𝟔∗√.𝟎𝟓∗.𝟗𝟓/𝟒𝟎𝟎
𝑷=.𝟎𝟓±𝟎.𝟎𝟐𝟏𝟑𝟓
𝑷=𝟎.𝟎𝟐𝟖𝟔𝟓,.𝟎𝟕𝟏𝟑𝟓
𝟐.𝟖𝟔%,𝟕.𝟏𝟑%con un nivel de confianza del 95%
3. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90 de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales.
Datos:
n = 300
p(p/ n)=(60/300)=0.2
z = 1.645
q =(1-p ) (1 0.2)=0.8
𝑷=𝟎.𝟐±𝟏.𝟔𝟒𝟓∗√𝟎.𝟐∗𝟎.𝟖/𝟑𝟎𝟎
𝑷=𝟎.𝟐±𝟎.𝟎𝟑𝟕𝟗𝟖
𝟎.𝟏𝟔𝟐𝟎𝟐,𝟎.𝟐𝟑𝟕𝟗
La proporción con un nivel de confianza del 90 % 𝟏𝟔.𝟎𝟐%,𝟐𝟑.𝟕𝟗%de accidentes con consecuencias fatales.
1)De un total de 2800 estudiantes aspirantes a ingresar a una universidad, se quiere estimar la proporción de aspirantes que nacieron en la ciudad sede de la universidad, para lo cual se toma una muestra de 144 de los cuales 108 nacieron en la ciudad sede Calcule el intervalo con un nivel de confianza del 95.
Datos:
n =144
p(p/n) =108/144= 0.75
z = 1.96
q =(1-p ) (1 0.75)=0.25
𝑷=𝟎.𝟕𝟓±𝟏.𝟗𝟔*√𝟎.𝟕𝟓∗𝟎.𝟐𝟓/𝟏𝟒𝟒
𝑷=𝟎.𝟕𝟓±𝟎.𝟎𝟕𝟎𝟑𝟔
𝟎.𝟔𝟕𝟗𝟔𝟒,𝟎.𝟖𝟐𝟎𝟑
𝟔𝟕.𝟗𝟔%,𝟖𝟐.𝟎𝟑%
1A) De un total de 2800 estudiantes aspirantes a ingresar a una universidad, se quiere estimar la proporción de aspirantes que nacieron en la ciudad sede de la universidad, para lo cual se toma una muestra de 2 5 4 de los cuales 1900 nacieron en la ciudad sede Calcule el intervalo con un nivel de confianza del 95.
Datos:
n =254
p(p/n) =254/1900 = 0.1336
z = 1.96
q =(1-p ) (1-0.1336)=0.8664
𝑷=𝟎.1336±𝟏.𝟗𝟔*√𝟎.1336∗𝟎.8664/254
𝑷=𝟎.1336±𝟎.04184
=𝟎.09176,𝟎.17544
=9.17%,17.54%
2) En una muestra aleatoria de 160 trabajadores expuestos a cierta cantidad de radiación 24 experimenta efectos nocivos Construir el intervalo de confianza del 99 para la verdadera proporción poblacional.
Datos:
n =160
p(p/n) =24/160 = 0.15
z = 2.58
q =(1-p ) (1-0.15)=0.85
𝑷=𝟎.15±2.58*√𝟎.15∗𝟎.85/160
𝑷=𝟎.10±𝟎.072830
=𝟎.0771,𝟎.22283
=7.71%,2.22%
3) De una muestra aleatoria de 200 comparendos por infracciones de tránsito, 84 de ellos se debieron al uso del celular por parte del conductor sin el uso de manos libres mientras el vehículo estaba en marcha Construya un intervalo de confianza del 95 para la proporción real por el uso indebido del celular.
n =200
p(p/n) =84/200 = 0.42
z = 1.96
q =(1-p ) (1-0.42)=0.58
𝑷=𝟎.42±𝟏.𝟗𝟔*√𝟎.42∗𝟎.58/200
𝑷=𝟎.42±𝟎.068403
=𝟎.3515,𝟎.4884
=35.15%,48.84%
3.6 Intervalo de confianza para diferencias de medias con varianza conocida y desconocida
𝜇1 µ 2 = (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
En el caso en que se desconozcan las varianzas de la población y los tamaños de muestra sean mayores a 30 se podrá utilizar la varianza de la muestra como una estimación puntual.
1. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón Encuentre un intervalo de confianza de 96 sobre la diferencia promedio real para los motores A y B Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente.
Datos:
𝒙𝟏= 36 milla x galón
𝒙𝟐=𝟒𝟐𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔𝒙𝒈𝒂𝒍ó𝒏
𝝈𝟐𝟐= 8
n1= 50
n2 = 75
Z = 2.05
𝜇1-µ2 = (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
𝝁1- µ2 = 𝟒𝟐−𝟑𝟔)±2.05*√𝟑𝟔²/𝟓𝟎+𝟔𝟒²/𝟕𝟓=
𝝁1- µ2 = 𝟔 ±2.𝟓𝟕𝟏𝟑𝟔=
𝝁1 - µ2 = 3.43 , 8.57 millas por galón
2. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36 300 kilómetros y para la marca B 38 100 kilómetros Calcule un intervalo de confianza de
95 para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B.
𝒙𝟏= 36,300 km
𝒙𝟐=𝟑𝟖,𝟏𝟎𝟎km
𝝈𝟏𝟐= 5000
𝝈𝟐𝟐= 6100
n1= 12
n2 = 12
Z 95%=1.96
𝜇1-µ2= (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
𝜇1-µ2= (38,100−36,300 ) ±1.96 *√5000²/12+6100²/12=
𝜇1-µ2 = 1800± 4462.67=
𝜇1-µ2 = 𝟐𝟔𝟔𝟐.𝟔𝟕,6262.67km
3. Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales De la experiencia pasada con el proceso de fabricación se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas La desviación estándar del larguero 1 es de 1 0 Kg/mm 2 y la del larguero 2 es de 1 5 Kg/mm 2 Se sabe que el comportamiento de las resistencias a la tensión de las dos clases de largueros son aproximadamente normal Se toma una muestra de 10 largueros del tipo 1 obteniéndose una media de 87 6Kg/mm 2 y otra de tamaño 12 para el larguero 2 obteniéndose una media de 74 5 Kg/mm 2
Estime un intervalo de confianza del 90 para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio 12.22.
Datos:
𝒙𝟏= 87.6 kg
𝝈𝟏𝟐= 1 kg
𝝈𝟐𝟐= 1.5 kg
n1= 10
n2 = 12
Z 90%=1.645
𝜇1-µ2= (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
𝜇1-µ2= (87.6−74.6) ±1.645 *√1²/10+1.5²/12=
𝜇1-µ2 = 13± 0.882032=
𝜇1-µ2 = 12.11797,13.88203 kg
4. Dos compañías A y B fabrican el mismo tipo de cable y un distribuidor desea conocer la diferencia promedio de la resistencia a la rotura de los mismos, para lo cual toma muestras de 100 cables de A y 50 cables de B La muestra de los cables de la compañía A arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4 500 libras y los cables de la compañía B arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4 000 libras Si se sabe por experiencia que la desviación estándar de la resistencia a la rotura es de 300 libras para la compañía A y de 200 libras para la compañía B, se pide estimar el intervalo de confianza de la diferencia de medias de la resistencia a la rotura entre los dos cables, con un nivel de confianza del 95 Se sabe que la resistencia a la rotura se distribuye normalmente para ambas compañías.
Datos:
𝒙𝟏=4500 libras
𝝈𝟏𝟐= 300
𝝈𝟐𝟐= 200
n1= 100
n2 = 50
Z 95%=1.96
𝜇1-µ2= (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
𝜇1-µ2= (4500−4000 ) ±1.96 *√300²/100+200²/50
𝜇1-µ2 = 500± 80.8128
𝜇1-µ2 = 419.1872,580.8128 LBS
5. En una compañía se quiere estimar la diferencia de los promedios de los rendimientos para producir cierta pieza por parte de los obreros en dos turnos diferentes Para tal fin el Jefe de producción de la empresa toma muestras de 32 obreros para el turno 1 y encuentra que la media en la misma es de 20 minutos mientras que la desviación estándar es de 2 8 minutos Por otra parte tomó una muestra de 35 obreros del turno 2 y encuentra que la media de la misma es de 22 minutos mientras que la
desviación estándar es de 1 9 minutos Se pide calcular el intervalo de confianza de la diferencia de las medias de los rendimientos en los dos turnos con un nivel de confianza del 90.
Datos:
𝒙𝟐=𝟐𝟐minutos
𝝈𝟏𝟐= 2.8 minutos
𝝈𝟐𝟐= 1.9 minutos
n1= 32
n2 = 35
Z 90%=1.645
𝜇1-µ2= (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
𝜇1-µ2= (20−22) ±1.645 *√2.8²/32+1.9²/35=
𝜇1-µ2 = 2± 0.9706=
𝜇1-µ2 =1.0294 , 2.9706 min
6. Se pide resolver el problema anterior asumiendo que los rendimientos de los obreros en ambos turnos se comportan normalmente y que el tamaño de muestra para el turno 1 fue de 25 obreros y el tamaño de muestra para el turno 2 fue de 17 obreros Se pide un nivel de confianza del 95 para la estimación del intervalo y una desviación estándar de 2 479 para ambas muestras.
Datos:
𝒙𝟏=20 minutos
𝒙𝟐=𝟐𝟐minutos
𝝈𝟏𝟐= 2.479
𝝈𝟐𝟐= 2.479
n1= 25n2 = 17
Z 95%=1.96
𝜇1-µ2= (𝑥1−𝑥2)±z*√𝜎1²/𝑛1+𝜎2²/𝑛2=
𝜇1-µ2= (20−22) ±1.96 *√2.479²/25+2.479²/17=
𝜇1-µ2 = 2± 1.5273=
𝜇1-µ2 =0.4727 , 3.5273 min
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